费马数
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费马数

费马数

费马数是以数学家费马命名一组自然数,具有形式: 其中 n 为非负整数。若 2n + 1 是素数,可以得到 n 必须是2的幂。

中文名

费马数

由 来

费马于1640年提出

定 义

把( )记为Fn

猜想结论

也就是说F5不是质数

费马素数正十七边形三等分角近代三大数学难题倍立方问题缺8数最大素数世界近代三大数学难题三大数学危机高斯画正十七边形

​费马数

费马

费马数是以数学家费马命名一组自然数,具有形式:

其中 n 为非负整数。

若 2n + 1 是素数,可以得到 n 必须是2的幂。(若 n = ab,其中 1 < a, b < n 且 b 为奇数,则 2n + 1 ≡ (2a)b + 1 ≡ (−1)b + 1 ≡ 0 (mod 2a + 1)。)也就是说,所有具有形式 2n + 1 的素数必然是费马数,这些素数称为费马素数。已知的费马素数只有 F0 至 F4 五个。

正文

形如

费马数

的数,n≥0。前五个费马数是F0=3,F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537,均为素数。据此,1640年,法国数学家P.de费马猜想Fn均为素数,1732年,L.欧拉发现 F5=641×6700417,故费马猜想不真。到目前为止,只知道以上五个费马数是素数。此外,还证明了48个费马数是复合数。这些复合数可以分成三类:①当n=5,6,7时,得到了Fn的标准分解式;②当n=8,9,10,11,12,13,15,16,18,19,21,23,25,26,27,30,32,36,38,39,42,52,55,58,63,73,77,81,117,125,144,150,207,226,228,250,267,268,284,316,452,556,744,1945时,只知道Fn的部分素因数;③当n=14时,只知道F14是复合数,但是它们的任何真因数都不知道。因此,在费马数列中是否有无穷多个素数,或者是否有无穷多个复合数,都是未解决的问题。自从费马猜想被否定后,有人猜想费马数列中只有有限个素数,这一猜想也未解决。还有一个未能证明的猜想:费马数无平方因子。L.J.沃伦于1967年证明了:如果素数q满足q|Fn,则

费马数

费马数有一些简单的性质:如①当整数 k>0时,有

费马数

;②设 n>0,Fn是素数的充分必要条件是

费马数

;③设 n>1,Fn的每一个素因数形如

费马数

1801年,C.F.高斯证明了,当h=

费马数

(0≤n1

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