数学题

2022-2023学年山东省济南市高新区九年级（下）自检数学试卷

一、选择题（10个小题，每小题4分，共40分。的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．如图所示的几何体的左视图是（）

A．​B．C．D．

2．如果，那么等于（）

A．​B．​C．​D．

3．已知反比例函数y＝图象经过点（2，﹣3），则下列点中不在此函数图象上的是（）

A．（3，﹣2）​B．（﹣2，﹣3）​C．（﹣1，6）​D．（1，﹣6）

4．将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（）

A．y＝（x+2）2+1​B．y＝（x﹣2）2+1​C．y＝（x+2）2﹣1​D．y＝（x﹣2）2﹣1

5．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有（）个

A．25​B．20​C．15​D．10

6．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos∠ACB值为（）

A．​B．​C．​D．

第6题图 第7题图 第8题图 第12题图

7．如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作CD∥OB交AB于点D，CD＝2，则B点的纵坐标为（）

A．4​B．5​C．6​D．7

8．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝120°，则∠α的度数为（）

A．120°​B．130°​C．100°​D．110°

9．一次函数y＝ax+1与反比例函数y＝﹣在同一坐标系中的大致图象是（）

A．B．​C．D．

10．函数y＝|x2+2mx﹣3|，当0≤x≤1时，函数图象上的点到x轴的距离不超过4，则m的取值范围（）

A．0≤m≤3​B．−1≤m≤3​C．0≤m≤4​D．−1≤m≤4

二.填空题（共24分，6小题，每小题4分）

11．已知α为锐角，且sinα＝，则α＝ 度．

12．如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象交于点

A（﹣1，3），B（4，2）．如图所示，则能使y1＜y2成立的x的取值范围是 ．

13．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（3，2），B（2，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为 ．

第12题图 第14题图 第15题图

14．如图，在平面直角坐标系中，M为y轴正半轴上一点，过点M的直线l∥x轴，l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于A、B两点，若S△AOB＝2，则k的值为 ．

15．如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝6，则图中阴影部分的面积是 ．

16．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E点沿线段AD由A向D运动（到D停止运动），F点沿线段CB由C向B运动（到B停止运动），两点同时出发，速度相同，连结EF，作BP⊥EF于P点，则在整个运动过程中P点的运动轨迹长为 ．

三、解答题（本大题共10个小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（6分）计算：|﹣3|+tan45°+（﹣1）2023﹣2sin60°

18．（6分）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠BCD＝∠BAC．若AD＝1，BD＝3，求边BC的长．

19．（6分）如图，小明同学在晚上由路灯B走向路灯A，当他行到Q处时发现，他在路灯A下的影长为3米，且恰好位于路灯B的正下方，接着他又走了6米到P处（即PQ＝6米），此时他在路灯B下的影子恰好位于路灯A的正下方（已知小明身高1.6米，路灯B高8米）

（1）小明站在Q处在路灯A下的影子是线段 ；

（2）计算小明站在P处在路灯B下的影长．

20．（8分）“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”，常用来描绘济南的风景名胜．周末妈妈计划带哥哥和弟弟出去玩，他们打算从A．千佛山、B．大明湖、C．趵突泉、D．五龙潭，四个景点中选择游玩地点．

（1）弟弟选择“C．趵突泉”景点的概率是 ；

（2）请利用树状图或表格求弟弟和哥哥两人选择的景点相同的概率．

21．（8分）某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是40m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是37°．

（1）求甲楼的高度及彩旗的长度；

（2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为60°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为30°，求乙楼的高度DG．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作⊙O的切线交AB的延长线于E，交BC于F．

（1）求证：DF⊥BC；

（2）已知DE＝6，BE＝3，求⊙O的半径．

23．（10分）已知：如图△ABC是边长为8的等边三角形，B与原点重合，点P、Q分别从A、C两点同时出发，速度为每秒1个单位长度，PQ交AC于D．运动时间为t秒，（0＜t＜6）

（1）写出点A的坐标 ；

（2）当PQ⊥OA时，求t的值；

（3）若△PCQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并求S的最大值．

24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，6），并与x轴交于点C．点D是线段AC上一点，△ODC与△OAC的面积比为2：3．

（1）k＝ ，b＝ ；D的坐标 ；

（2）点P为直线AC在第一象限部分上一点，连结OP，将OP绕点O逆时针旋转90°，得到OP'，若点P'在反比例函数上，求出点P坐标；

（3）点Q为y轴上一点，若S△ODA＝S△ODQ，求出点Q的坐标．

25．（12分）（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，点D在AB上，点E在AC上，∠ADE＝∠ABC＝90°，，则＝ ，＝ ；

（2）如图2，在（1）的条件下，Rt△ADE绕点A逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜∠BAC），连接BD，CE．的值是否发生改变？若不变请给出证明，若改变请求出新的比值．

（3）拓展：如图3，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝4，连接BE，BF，求2BE+BF的最小值．

26．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C，交x轴于点A（﹣1，0）、B（4，0）（A点在B点左侧），顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作y轴的平行线交BC于点Q，过点P作x轴的平行线交y轴于点F，过点Q作x轴的平行线交y轴于点E，求矩形PQEF的周长最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使∠BMC＝45°？若存在，请直接写出点M的纵坐标；若不存在，请说明理由

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