第六十八章番外7

最速降线或捷线问题是历史上第一个出现的变分法问题，也是变分法发展的一个标志。此问题是1696年约翰·伯努利在写给他哥哥雅克布·伯努利的一封公开信中提出的。问题的提法是：设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连接A和B的平面曲线中，求出一条曲线，使仅受重力作用且初速度为零的质点从A点到B点沿这条曲线运动时所需时间最短[1]。

中文名

最速降线问题

外文名

BrachistochroneProblem

性质

降线问题

时间

1630年

国家

意大利

快速

导航

求解应用

简介

在一个斜面上，摆两条轨道，一条是直线，一条是曲线，起点高度以及终点高度都相同。两个质量、大小一样的小球同时从起点向下滑落，曲线的小球反而先到终点。这是由于曲线轨道上的小球先达到最高速度，所以先到达。然而，两点之间的直线只有一条，曲线却有无数条，那么，哪一条才是最快的呢？伽利略于1630年提出了这个问题，当时他认为这条线应该是一条圆弧，可是后来人们发现这个答案是错误的[2]。1696年，瑞士数学家约翰·伯努利解决了这个问题，他还拿这个问题向其他数学家提出了公开挑战。牛顿、莱布尼兹、洛比达以及雅克布·伯努利等解决了这个问题[3]。这条最速降线就是一条摆线，也叫旋轮线。

旋轮线

旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线（旋轮线）又称等时曲线。

看一个稍微有点振奋人心的东西，约翰·伯努利对最速降线问题的非常精妙的解答：

如果使分成的层数n无限地增加，即每层的厚度无限地变薄，则质点的运动便趋于空间A、B两点间质点运动的真实情况，此时折线也就无限增多，其形状就趋近我们所要求的曲线——最速降线．而折线的每一段趋向于曲线的切线，因而得出最速降线的一个重要性质：任意一点上切线和铅垂线所成的角度的正弦与该点落下的高度的平方根的比是常数．而具有这种性质的曲线就是摆线．所谓摆线，它是一个圆沿着一条直线滚动正（无滑动）时，圆周上任意一点的轨迹。

因此，最速降线就是摆线，只不过在最速降线问题中，这条摆线是上、下颠倒过来的罢了[4]。

求解

列出表达式

设O,A是高度不同，且不在同一铅垂线上的两定点，如果不计摩擦和空气阻力，一质点m在重力作用下从O点沿一曲线降落至。A(p,q)A点，问曲线呈何种形状时，质点降落的时间最短。

设曲线为y=y(x)，坐标如图所示，质点由O点开始运动，它的速度v与它的纵坐标有关系

式中，g是重力加速度。

在曲线上点(x,y)处，质点的运动速度为

式中，s表示曲线的弧长，t表示时间，于是

由于点O,A的横坐标分别是0,p，则质点m从O点运动到A点所需时间为

这样，质点由O点运动到A点所需时间t是y(x)的函数，最速降线问题就是满足边界条件的

所有连续函数y(x)中，求出一个函数y使泛函式取最小值。

对泛函求极值的问题称为变分问题，使泛函取极值的函数称为变分问题的解，也称为极值函数。

最终解答

解

且y(0)=0,y(p)=q

这样

其E-L方程为

由于

所以有

则可得

上式对θ求导，所以

根据曲线过原点(0,0)及(p,q)可求出x0=0及r，这样，所求曲线为[5]

应用

最速降线无论在数学上还是物理上都进行过严格的证明,对工程来说,其物理原理为在同一高度滚下的两个球,两球下滚的原因都是受重力分力的作用,沿直线下滚的球,下滑的加速度保持不变,速度稳定地增加。沿着旋轮线下滑时,开始的一段的坡度非常大,使得下滑的球在非常短的时间内取得的下滑速度非常大。虽然,在下滑的后半阶段,坡度逐渐变小、速度增加变缓,但此时的下滑速度已经变得很大。所以,沿着旋轮线下滑在整个下滑阶段的平均速度很大。即使旋轮线的长度比直线的长度大,沿着旋轮线下滑的时间也比直线短。

例如，最速降线理论在粮食仓储物流中有广泛的应用,在解决仓储工艺和设备上可发挥重要作用,如改善空气斜槽、溜管和布粮器等设备的性能参数,优化粮食仓储工艺等

摩擦学（tribology）研究表面摩擦行为的学科。即研究相对运动或有相对运动趋势的相互作用表面间的摩擦、润滑和磨损，及其三者间相互关系的基础理论和技术。摩擦学是一门边缘学科。涉及数学、物理学、化学、材料科学、冶金学、力学、机械工程、化学工程等学科。[1]

中文名

摩擦学

外文名

tribology

研究

表面摩擦行为

隶属

学科

依托

相对运动

快速

导航

研究简史学科范围系统

概况

摩擦学是研究相对运动的作用表面间的摩擦、润滑和磨损，以及三者间相互关系的理论与应用的一门边缘学科。

摩擦学系统过程研究

世界上使用的能源大约有1/3～1/2消耗于摩擦。如果能够尽力减少无用的摩擦消耗，便可大量节省能源。另外，机械产品的易损零件大部分是由于磨损超过限度而报废和更换的，如果能控制和减少磨损，则既减少设备维修次数和费用，又能节省制造零件及其所需材料的费用。

人类对摩擦现象早有认识，并能用来为自己服务，如史前人类的钻木取火。《诗经·邶风·泉水》中有“载脂载宣，还车言迈”的诗句，表明中国在春秋时期已应用动物脂肪来润滑车轴。

应用矿物油作润滑剂的记载最早见于西晋张华所著《博物志》，书中提到酒泉延寿和高奴有石油，并且用于“膏车及水碓甚佳”。但长久以来摩擦学的研究进展缓慢，直到15世纪，意大利的列奥纳多·达芬奇才开始把摩擦学引入理论研究的途径。

摩擦学研究的对象很广泛，在机械工程中主要包括动、静摩擦，如滑动轴承、齿轮传动、螺纹联接、电气触头和磁带录音头等；零件表面受工作介质摩擦或碰撞、冲击，如犁铧和水轮机转轮等；机械制造工艺的摩擦学问题，如金属成形加工、切削加工和超精加工等；弹性体摩擦，如汽车轮胎与路面的摩擦、弹性密封的动力渗漏等；特殊工况条件下的摩擦学问题，如宇宙探索中遇到的高真空、低温和离子辐射等，深海作业的高压、腐蚀、润滑剂稀释和防漏密封等。

此外，还有生物中的摩擦学问题，如研究海豚皮肤结构以改进舰只设计，研究人体关节润滑机理以诊治风湿性关节炎，研究人造心脏瓣膜的耐磨寿命以谋求最佳的人工心脏设计方案等。地质学方面的摩擦学问题有地壳移动、火山爆发和地震，以及山、海，断层形成等。在音乐和体育以及人们日常生活中也存在大量的摩擦学问题。

摩擦学涉及许多学科。如完全流体润滑状态的滑动轴承的承载油膜，基本上可以运用流体力学的理论来解算。但是齿轮传动和滚动轴承这类点、线接触的摩擦，就还需要考虑接触变形和高压下润滑油粘度变化的影响；在计算摩擦阻力时则需要认真考虑油的流变性质，甚至要考虑瞬时变化过程的效应，而不能把它简化成牛顿流体。

如果油膜厚度接近于接触表面的粗糙度，还需要考虑表面纹理对润滑油的阻遏和疏导作用，以及油温所引起的热效应。油膜再薄，两摩擦表面粗糙峰点也会发生接触或碰撞，接触峰将分担一部分载荷，接触峰点区域处于边界润滑状态。在使用油性添加剂时，表面形成吸附膜，而在使用极压添加剂时，表面形成反应膜。

为了了解磨损的发生发展机理，寻找各种磨损类型的相互转化以及复合的错综关系，需要对表面的磨损全过程进行微观研究。仅就油润滑金属摩擦来说，就需要研究润滑力学、弹性和塑性接触、润滑剂的流变性质、表面形貌、传热学和热力学、摩擦化学和金属物理等问题，涉及物理、化学、材料、机械工程和润滑工程等学科。

随着科学技术的发展，摩擦学的理论和应用必将由宏观进入微观，由静态进入动态，由定性进入定量，成为系统综合研究的领域。

研究简史

人类对摩擦现象早有认识，并能用来为自己服务，如史前人类已知钻木取火。《诗经·邶风·泉水》已有“载脂载舝，还车言迈”的诗句，表明中国在春秋时期已较普遍地应用动物脂肪来润滑车轴。应用矿物油作润滑剂的记载最早见于西晋张华所著《博物志》。书中提到酒泉延寿和高奴有石油，并且用于“膏车及水碓甚佳”。但长久以来摩擦学的研究进展缓慢。直到15世纪，意大利的列奥纳多·达芬奇才开始把摩擦学引入理论研究的途径。1785年，法国C.库仑继前人的研究，用机械啮合概念解释干摩擦，提出摩擦理论。

摩擦学系统过程

后来又有人提出分子吸引理论和静电力学理论。1935年，英国的F.P.鲍登等人开始用材料粘着概念研究干摩擦。1950年，鲍登提出了粘着理论。关于润滑的研究，英国的O·雷诺于1886年继前人观察到的流体动压现象，总结出流体动压润滑理论。20世纪50年代普遍应用电子计算机之后，线接触弹性流体动压润滑的理论有所突破。对磨损的研究开展较晚，50年代提出粘着理论后，60年代在相继研制出各种表面分析仪器的基础上，磨损研究才得以迅速开展。至此综合研究摩擦、润滑和磨损相互关系的条件已初步具备，并逐渐形成摩擦学这一新的发展中的学科。然而发展成为Tribology还是1966年的事。中译Tribology为“摩擦学”，在1980年冬才被正式确定。美国接受以Tribology代替Lubrication的地位，始于1984年。

学科范围

摩擦学研究的对象很广泛，在机械工程中主要包括：①动、静摩擦副，如滑动轴承、齿轮传动、螺纹联接、电气触头和磁带-录音头等；②零件表面受工作介质摩擦或碰撞、冲击，如犁铧和水轮机转轮等；③机械制造工艺的摩擦学问题，如金属成形加工、切削加工和超精加工等；④弹性体摩擦副，如汽车轮胎与路面的摩擦(见地面车辆力学)、弹性密封的动力渗漏等；⑤特殊工况条件下的摩擦学问题。在音乐和体育以及人们日常生活中也存在大量的摩擦学问题。

摩擦学涉及许多学科。例如油润滑的金属摩擦副，处于完全流体润滑状态的滑动轴承的承载油膜，基本上可以运用流体力学的理论来解算。但是齿轮传动和滚动轴承这类点、线接触的摩擦副，在计算它的流体动压润滑的承载油膜时，还需要考虑接触变形和高压下润滑油粘度变化的影响；在计算摩擦阻力时则需要认真考虑油的流变性质（从应力、应变、温度和时间几方面研究物质变形和流动的物理性质），甚至要考虑瞬时变化过程的效应，而不能把它简化成牛顿流体。这样，仅就油润滑金属摩擦副来说就需要研究润滑力学、弹性和塑性接触、润滑剂的流变性质、表面形貌、传热学和热力学、摩擦化学和金属物理等问题，涉及物理、化学、材料、机械工程和润滑工程等学科。随着科学技术的发展，摩擦学的理论和应用必将由宏观进入微观，由静态进入动态，由定性进入定量，成为系统综合研究的领域。

系统

摩擦学问题涉及多种因素，错综复杂，应用系统分析的方法进行研究，可以明了诸因素之间的依赖和制约关系，以及分析问题的思路。互相接触的两个物体，当有相对滑动或有相对滑动的趋势时，在它们接触面上出现的阻碍相对滑动的力。摩擦对工程技术和日常生活极为重要。摩擦阻碍物体的运动，使运动能量遭受损失，人类生产的总能量有很大一部分就是这样被消耗掉的。因摩擦而损失的机械能转化为热，使机器中许多滑动面必须冷却。同时，摩擦还伴随着表面材料的损失，即发生磨损。磨损使零件的尺寸改变，失去应有的精度和功能。世界上有很大一部分生产力就是用于补充、替换因磨损而变为无用的零件的。

摩擦学系统过程

因此，人们采取各种减小摩擦的措施，例如在相对滑动的表面上施用润滑剂；用轮子、滚柱和滚珠使滑动改为滚动等。但摩擦也有有用的一面，许多传动与制动设备是通过摩擦起作用的。常用的皮带传动功能就是通过摩擦力实现的；汽车和机车的行驶也要依靠地面和钢轨上的摩擦力。严冬冰雪覆盖路面，有时必须在汽车后轮上加装铁链或在钢轨上喷砂，才能产生足够的摩擦力推动车辆前进。若摩擦力完全消失，则结绳、织布、打钉、执笔以至坐立行走，都将成为不可能。因此，摩擦又是人类生存所不可缺少的。

图1以油润滑金属摩擦副为例表示摩擦学系统的组成，它表明运动件、静止件、润滑油和环境大气间的相互作用原理。图2是摩擦学系统的过程，用功能平面和由它分解出的3个概念性平面（功平面、热平面、材料平面）来表示。材料平面包括固体材料面、流体（润滑油、气体）平面和反应产物平面。图中画出这些概念性平面间可能发生的摩擦学过程。垂直的实线表示化学转变过程，垂直的虚线表示由功转到熵的过程，它们都集中到热平面上。因此系统过程图是分析摩擦学问题时的有力工具。

两个相接触的物体做相对运动时发生的阻碍它们相对运动的现象，称为“动摩擦”。在动摩擦中出现的摩擦力称为“动摩擦力”。对物体所施之力大于最大静摩擦力时，物体就开始运动。在运动起来之后，若将所施加之力减小，物体便又停止运动。这一情况表明，物体运动之后，还有阻止物体运动的力，即还有摩擦阻力。这种物体运动时所产生的摩擦力即称动摩擦力。

置于固定平面上的物体由于受沿它们接触表面切向的外力作用有相对滑动的趋势但还没有发生相对滑动的时候，存在于接触表面的阻碍这种滑动趋势的现象，谓之“静摩擦”。这里应注意两点：一是两个紧密接触而又相对静止的物体；另一点是具有相对滑动的趋势，但又还没有发生相对的滑动。

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